青木研究室

青木研では一貫して、「超伝導」、「強磁性」、「分数量子ホール効果」に代表される多体効果の理論を主眼に研究を行っている。これらの現象では、電子相関（電子間斥力相互作用のために生じる量子効果）により、ゲージ対称性が自発的に破れる。一方、面白い物質構造から面白い物性物理を探る「物質設計」や、非平衡における新奇な物性を探ることを、もう一本の柱としている。

高温超伝導銅酸化物の模型と考えられる斥力Hubbard模型は、スピン揺らぎ媒介によりO(0.01t)の転移温度T_C (tはバンド幅～ 10 000 K)を持つ超伝導をもつと考えられ、銅酸化物のT_C～ 100Kと整合するが、T_Cがt から二桁落ちるという意味では「低温超伝導」である。この主因の一つは、斥力からの超伝導ではCooper対は異方的になり、ギャップ関数が nodeをもつためである。これを、フェルミ面形状やバンド分散を上手くとることにより、特に「非連結フェルミ面」において克服する可能性について様々な検討を行っている[29,34]。

鉄化合物における新高温超伝導体

2008年に、細野（東工大）により、鉄の砒化物において 30K級のT_Cをもつ超伝導が発見され、その後T_Cも55Kまで上昇している。銅酸化物に対比されるべき新しいカテゴリーの超伝導体であり、特に鉄という意外な元素の化合物における高温超伝導という点が興味深い。黒木（電通大）、大成（名大）、有田(東大工)、臼井（電通大）、田仲（名大）、紺谷（名大）と青木は、この理論の最初となるものの一つを提出した。第一原理電子状態計算から出発し、downfoldingと呼ばれる方法により、多体のtight-binding模型を構築し、Eliashberg方程式を解析することにより、超伝導のペアリング対称性を決定した[1,3,4,14,16]。結果は、(a)フェルミ面は二組のポケットからなる非連結フェルミ面である、(b) downfoldされた模型は鉄の5個のd軌道全てを含む5-band modelとなる、(c)複数組ポケットの間に、複数のnestingがあり、これに伴いペアリング対称性は、基本的にポケット間の非連結性を利用した拡張s (通称s±; Fig.2.1.1)であることが示唆される。また、Malaeb, 吉田、片岡、藤森、臼井、黒木、有田、青木および久保田, 小野(以上KEK)、神原、平野、細野(以上東工大)は、鉄系化合物の電子構造を、光電子分光の実験と電子状態計算を組み合わせることにより解析し、質量繰り込み因子が約2という値をとることを示した[2,15]。鉄系に関しては、JST-TRIPプロジェクトが立ち上がった。

**図 2.1.1:** The Fermi surface of the iron-based superconductor (LaO_1-xF_xFeAs). Signs of the superconducting gap function are indicated. (after [1])

汎関数繰り込み群法

フェルミ面形状やバンド分散を取り入れられる強力な方法として、高島、有田（東大工）、黒木(電通大）、青木は汎関数繰り込み群法(fRG)に着目した。特に、温度汎関数繰り込み群は、相関関数の温度依存性を計算できるが、従来は松原周波数依存性を無視する近似が行われ、そのため、電子相関で本質的な自己エネルギーが無視された。そこで我々は、自己エネルギーの松原周波数空間を取り入れながら計算量を爆発させないアルゴリズムを提案した。この方法を、2次元斥力Hubbard模型に適用し、さまざまな相関関数や質量繰り込み因子を計算することに成功した[17,41,42,54,55,56,57]。高島は以上の成果を博士論文にまとめた[71]。多バンド系への拡張も考えている。

炭素系の物性

グラフェン(単原子層グラファイト)の物理

最近、原子一層のグラファイト(グラフェン)における特異な整数量子ホール効果が実験的に観測され興味を集めているが、蜂の巣格子はmassless Dirac粒子のバンド分散をもつために、興味深い物理現象が期待される[38,39]。初貝（筑波大）、福井（茨城大）、青木は、グラフェン量子ホール効果のトポロジカルな性質を明らかにしている[18]。トポロジカルな性質の一つはエッジ状態に現われるが、有川（筑波大）、初貝、青木は、グラフェンのエッジ状態を数値計算により求め、トポロジカルな観点やSTM観察の観点から議論した[6,21]。

グラフェン量子ホール効果において、massless Dirac粒子特有の N=0ランダウ準位は特異であるが、不規則性を入れたときにこれがどうなるかは、トポロジカルな観点からも興味深い。河原林（東邦大）、初貝、青木は、不規則性が炭素間の結合に入る場合は、カイラル対称性が保存される等の理由で、殆どスケーリングの固定点のような異常な振る舞いをすることを見出した[58,59]。

一方、中島（東北大）と青木は、原子ポテンシャルを蜂の巣状に置いた厳密に解けるモデルを用いて、ベクトル・ポテンシャルの２次の効果(反磁性シフトと波動関数収縮)を取り入れた電子状態を求めた[22]。これにより、 tight-binding 模型に依らなくとも質量ゼロのDirac 的な分散が生じること、強磁場中でのランダウ準位が分裂することを示した。

グラフェンにおけるランダウ準位レーザー

量子ホール系では非平衡状態下での発光が観測されており、また青木により1980年代に非平衡における「ランダウ準位レーザー」の可能性が提案されたが、等間隔ランダウ準位のために実現が困難であった。森本、初貝、青木は、グラフェンにおいてはDirac的分散を反映して、ランダウ準位が非等間隔( ～N)となるために、反転分布を作るのに有利であろうというアイディア(図2.1.2)の元に、磁場中のmassless Dirac粒子の光学的性質を、発光の議論に重要な緩和過程も考慮して調べた[5,19]。適当な不純物濃度では、N=0,±1間のランダウ・ギャップ間で反転分布が実現し発光が観測され易くなることが期待される。

**図 2.1.2:** Cyclotron absorption and emission processes schematically depicted for the graphene quantum Hall systems with k-linear dispersion and Landau levels (horizontal lines) (after [5]).

ゼオライト鋳型炭素構造

炭素がとる新奇な構造として、ゼオライト的な構造をもつ炭素（ナノチューブの３次元的ネットワーク等）をゼオライトを鋳型にして作成することが京谷等により試みられている。これは、青木研で考えてきた周期的曲面上の電子構造をグラフェンにより構成したともいえ、興味深い配列ナノ空間である。鈴木、東野、岡、青木は、京谷、西原（以上東北大）と共に、ゼオライト鋳型炭素構造のバンド構造を求めた[61]。結果は金属的であり、炭素の他の構造が半導体、半金属であるのと対照的である。この原因は、周期曲面を構成するために炭素間ボンドはsp2とsp3の中間を強いられるためである。

量子ホール系

THz領域における光学ホール効果

量子ホール系では静的ホール伝導度が量子化されるが、森本、初貝、青木は、光学ホール伝導度（ac Hall conductivity、数Tの磁場下ではTHz域）がどうなるかに着目し、通常の量子ホール系およびグラフェンに対して光学ホール伝導度を計算し、ホール・プラトーが意外にもac領域でも残ることを見出した[20,43,60]。近年のTHz分光の実験的技術の進展により、Faraday回転角等によって測定されることが期待される。

強磁場中の量子ドット

分数量子ホール系を電子が数個しか含まない程小さな領域に閉じこめると、電子は磁気長(10 T の磁場で～ 80 Å) 程度の量子零点振動を行いながら斥力で避け合い、「電子分子」構造をとり、「魔法数」角運動量をもつことを Maksym(Leicester大)、青木等は提案してきた。電子相関効果は量子ドット模型の詳細に敏感であるため、 Maksym、青木は、西、羽田野(JST)、樽茶（本学工）、 Austing（カナダNational Research Council)、 Kouwenhoven（Delft工大）という実験家との共同研究として、電子分子理論の予言する魔法数構造が、精密な理論的モデルを用いるとスピン自由度まで含めて実験結果と一致することを示した[7]。

非平衡・非線形現象

モット絶縁体のような強相関電子系における非平衡・非線形現象は、開拓の余地の大きい興味深い問題である。強電場中でのモット絶縁破壊に対して岡、青木は、多体状態の間の非断熱的量子遷移に対する描像を与えた[28]。本年度は、強相関電子系以外に、グラフェンも含めて、非平衡現象を研究した。また、非平衡下での超伝導の研究にも着手した[62]。

強レーザー光下のモット絶縁体
-- 朝永-Luttinger液体的モード

一次元モット絶縁体に対して強いレーザー光を照射すると金属状態が生じることが、ポンプ・プローブ実験によって知られている。岡、青木はこの金属状態の特性を調べるために、密度行列繰り込み群を用いて非平衡定常状態における光学相関関数を計算した。その結果、金属状態は電子相関によって繰り込まれた線形分散を持つ集団励起を示し、朝永-Luttinger液体に似ることが分かった[8,24,44,65]。

光誘起絶縁体・金属転移の理論
-- Keldysh + Floquet法

マンガン系などにおける光誘起絶縁体・金属転移を理解することを目的として、辻、岡、青木は、強いレーザー光のもとでの非平衡定常強相関系の電子状態を計算する新方法を、非平衡動的平均場理論を Floquet法と組み合わせることにより提案した。この手法をFalicov-Kimballモデルに適用したところ、電子状態がモット絶縁体とWannier-Stark格子の間を転移する様子が見られた (図2.1.3)。さらに、散逸を取り込むことにより強相関電子系の光誘起非平衡定常状態の分布関数を決定し、これを非線形光学応答関数の計算に応用し、場合によっては負の光学伝導度(gain)が生じることを示した[11,25,26,47,49,67,68,69,70]。

図: The local spectral function for the Falicov-Kimball model irradiated by an intense ac field (with Ω=1) at half filling for U=2.2. (after Ref.[11])

光誘起されたゼロ磁場中グラフェン・ホール効果

岡、青木は、強い円偏光を照射するとグラフェン中の Dirac粒子が光誘起dcホール効果を発現する可能性を発見した[10,23,45,46,63,66]。光誘起ホール効果は既存のホール効果とは異なり無磁場で生じるものであり、円偏光の非線形効果に伴って電子の獲得する非断熱ベリー位相(Aharonov-Anandan位相)によって発生する。実験によってこの現象を検証する方法についても提案を行った。

**図 2.1.4:** Right: DC current distribution in graphene subject to a circularly polarised light with a bias voltage applied across the electrodes. Left: Aharonov-Anandan curvature in k space. (after [10]).

実時間量子モンテカルロ法の非平衡への拡張

岡、Werner(ETH)、Millis (Columbia大)は強相関系の非平衡相転移現象を調べる方法である非平衡動的平均場理論の構築に必要な実時間量子モンテカルロ法を調べ、特にHirsch-Fye法および連続時間モンテカルロ法が非平衡下でも扱えるようにKeldyshグリーン関数を用いて拡張した。負符号問題をある程度緩和することに成功し、バイアス下の非平衡量子ドットの非線形伝導について解析した[9]。

モット絶縁破壊とベーテ仮説励起状態の非エルミート拡張

岡、青木は「多体Landau-Zener遷移」によってモット絶縁体の絶縁破壊現象を説明してきたが、Landau-Zenerの公式を単純にハバードモデルに適用すると熱力学極限で敷居電場が発散してしまう。そこで、これを量子トンネル現象に対するDykhne-Davis-Pechkas理論をハバード模型に適用することによって解決した[64]。敷居電場の計算過程で非エルミート化されたハバード模型が自然に出現することが分かり、ハバード模型厳密(Bethe)解を拡張することによって数値計算と整合する結果を得た。

光格子中の冷却原子の超流動・Mott絶縁体相転移ダイナミックス

光格子にトラップされた冷却原子系では超流動・Mott絶縁体(SF-MI)転移が観測さるが、堀口（現在NEC）、岡、青木は、2次元正方格子Bose-Hubbard模型に対し、時間依存Schrödinger方程式を数値的に解くことによって、 SF-MI相転移ダイナミックスを調べた[27]。これにより、相互作用U/tを急変(クエンチ)させた際、超流動振幅は指数関数的に成長しながら位相が空間的なドメイン構造を作り、 Josephson 電流によりドメインが融合する過程で Kibble-Zurek機構により位相欠陥(渦)が発生する様子が示された。

その他

総合報告として、青木は、強相関電子系における物質設計[34]、超伝導[29]、高温超伝導[30]、鉄系新超伝導体[12,13,31,35,36,50,51,52]、グラフェン[38,39]、量子ホール効果[37]、非平衡BEC[40]、南部理論と物性物理学[32,33]、また岡、青木は強相関電子系における非平衡現象[28,53] 等のテーマで講演、解説、執筆を行った。

参考文献

[]

報文原著論文

1

Kazuhiko Kuroki, Seiichiro Onari, Ryotaro Arita, Hidetomo Usui, Yukio Tanaka, Hiroshi Kontani, Hideo Aoki: Unconventional pairing originating from disconnected Fermi surfaces in superconducting LaFeAsO_1-xF_x, Phys. Rev. Lett. 101, 087004 (2008) [erratum: ibid 102, 109902(E) (2009)].

2

Walid Malaeb, Teppei Yoshida, Takashi Kataoka, Atsushi Fujimori, Masato Kubota, Kanta Ono, Hidetomo Usui, Kazuhiko Kuroki, Ryotaro Arita, Hideo Aoki, Yoichi Kamihara, Masahiro Hirano, Hideo Hosono: Electronic Structure and Electron Correlation in LaFeAsO_1-xF_x and LaFePO_1-xF_x, J. Phys. Soc. Jpn. 77, 093714 (2008).

3

Kazuhiko Kuroki, Seiichiro Onari, Ryotaro Arita, Hidetomo Usui, Yukio Tanaka, Hiroshi Kontani and Hideo Aoki: Unconventional pairing originating from disconnected Fermi surfaces in the iron-based superconductor, New J. Phys. 11, 025017 (2009).

4

Kazuhiko Kuroki and Hideo Aoki: Unconventional pairing originating from disconnected Fermi surfaces in the iron-based superconductor, Physica C, special edition on superconducting pnictides (2009), in press.

5

T. Morimoto, Y. Hatsugai, and H. Aoki: Cyclotron emission and radiation in graphene, Phys. Rev. B 78, 073406 (2008).

6

Mitsuhiro Arikawa, Yasuhiro Hatsugai, Hideo Aoki: Edge states in graphene in magnetic fields - a speciality of the edge mode embedded in the n=0 Landau band, Phys. Rev. B 78, 205401 (2008).

7

P.A. Maksym, Y. Nishi, D.G. Austing, T. Hatano, L.P. Kouwenhoven, H. Aoki, S. Tarucha: Accurate model of a vertical pillar quantum dot, Phys. Rev. B 79, 115314 (2009).

8

Takashi Oka and Hideo Aoki: Photo-induced Tomonaga-Luttinger-like liquid in a Mott insulator, Phys. Rev. B 78, 241104(R) (2008).

9

P. Werner, T. Oka, and A. J. Millis: Diagrammatic Monte Carlo simulation of non-equilibrium systems, Phys. Rev. B 79, 035320 (2009).

10

Takashi Oka and Hideo Aoki: Photovoltaic Hall effect in graphene, Phys. Rev. B 79, 081406(R) (2009) [erratum: ibid 79, 169901(E) (2009)].

11

Naoto Tsuji, Takashi Oka, and Hideo Aoki: Correlated electron systems periodically driven out of equilibrium -- Floquet + DMFT formalism, Phys. Rev. B 78, 235124 (2008).

国際会議録（招待講演）

12

Hideo Aoki: Unconventional superconductivity originating from disconnected Fermi surfaces in the iron-based compound, Proc μSR2008, Tsukuba, 2008 [Physica B 404, 700 (2009)].

13

Hideo Aoki: Model construction and pairing symmetry for the iron-based oxypnictides, Proc. 21st Int. Symposium. on Superconductivity, Tsukuba, Oct. 2008, in press.

国際会議録（一般発表）

14

Kazuhiko Kuroki, Seiichiro Onari, Ryotaro Arita, Hidetomo Usui, Yukio Tanaka, Hiroshi Kontani, and Hideo Aoki: Unconventional superconductivity originating from disconnected Fermi surfaces in the iron-based oxypnictide, Proc. Int. Symp. Fe-Pnictide Superconductors, Tokyo, 2008 [J. Phys. Soc. Jpn 77, Suppl. C, 96 (2008)].

15

Walid Malaeb, Teppei Yoshida, Takashi Kataoka, Atsushi Fujimori, Masato Kubota, Kanta Ono, Hidetomo Usui, Kazuhiko Kuroki, Ryotaro Arita, Hideo Aoki, Yoichi Kamihara, Masahiro Hirano, and Hideo Hosono: Photoemission study of the electronic structure of LaFeAsO_1-xF_x and LaFePO_1-xF_x, Proc. Int. Symp. Fe-Pnictide Superconductors, Tokyo, 2008 [J. Phys. Soc. Jpn 77, Suppl. C, 69 (2008)].

16

Ryotaro Arita, Seiichiro Onari, Hidetomo Usui, Kazuhiko Kuroki, Yukio Tanaka, Hiroshi Kontani, and Hideo Aoki: Minimal model for study on superconductivity in LaFeAsO_1-xF_x based on ab-initio downfolding, Proc. LT25, Amsterdam 2008 [J. Phys.: Conf. Series 150, 052010 (2009)].

17

Hirokazu Takashima, Ryotaro Arita, Kazuhiko Kuroki, and Hideo Aoki: An improved algorithm for the functional renormalization group and its application to the 2D Hubbard model, Proc. LT25, Amsterdam 2008 [J. Phys.: Conf. Ser. 150, 052261 (2009)].

18

Yasuhiro Hatsugai, Takahiro Fukui, Hideo Aoki: Topological low-energy modes in N=0 Landau levels of graphene -- a possibility of a quantum-liquid ground state, Physica E 40, 1530 (2008).

19

Takahiro Morimoto, Yasuhiro Hatsugai and Hideo Aoki: Cyclotron radiation and emission in graphene -- a possibility of Landau-level laser, Proc. LT25, Amsterdam 2008 [J. Phys.: Conf. Series 150, 022059 (2009)].

20

Takahiro Morimoto, Yasuhiro Hatsugai and Hideo Aoki: Optical Hall conductivity in QHE systems, Proc. LT25, Amsterdam 2008 [J. Phys.: Conf. Series 150, 022060 (2009)].

21

Mitsuhiro Arikawa, Yasuhiro Hatsugai and Hideo Aoki: Edge states for the n=0 Laudau level in graphene, Proc. LT25, Amsterdam 2008 [J. Phys.: Conf. Series 150, 022003 (2009)].

22

Tatsuya Nakajima and Hideo Aoki: Landau quantization of graphene including diamagnetic shift and shrinkage of wave function, Physica E 40, 1354 (2008).

23

Takashi Oka and Hideo Aoki: Photo-induced Hall effect in graphene -- effect of boundary types, J. Phys.: Conf. Ser. 148, 012061 (2009).

24

Takashi Oka and Hideo Aoki: Photo-induced metallic liquid in a one-dimensional Mott insulator in AC fields, Proc. LT25, Amsterdam 2008 [J. Phys.: Conf. Ser. 150, 042152 (2009)].

25

Naoto Tsuji, Takashi Oka, and Hideo Aoki: Photoinduced insulator-metal transition and nonlinear optical response of correlated electrons -- a DMFT analysis, J. Phys.: Conf. Ser. 148, 012058 (2009).

26

Naoto Tsuji, Takashi Oka, and Hideo Aoki: Photoinduced insulator-metal transition in correlated electrons -- a Floquet analysis with the dynamical mean-field theory, Proc. LT25, Amsterdam 2008 [J. Phys.: Conf. Ser. 150, 042216 (2009)].

27

N. Horiguchi, Takashi Oka, and Hideo Aoki: Non-equilibrium dynamics in Mott-to-superfluid transition in Bose-Einstein condensation in optical lattices, Proc. LT25, Amsterdam 2008 [J. Phys.: Conf. Ser. 150, 032007 (2009)].

編著書

28

Takashi Oka and Hideo Aoki: Nonequilibrium quantum breakdown in a strongly correlated electron system, in Quantum Percolation and Breakdown [Lecture Notes in Physics 762, 251 (Springer Verlag, 2009)].

29

青木秀夫：「超伝導入門」（裳華房）、印刷中。

国内雑誌

30

青木秀夫：銅酸化物は超えられるか　－　理論の立場から、パリティ、2008年5月号、p.30。

31

青木秀夫：鉄系超伝導体、化学、63, No.12, p.26 (2008)。

32

青木秀夫：南部理論と物性物理学、日本物理学会誌、64, 80 (2009)。

33

青木秀夫：南部理論と物性物理学 -- 超伝導を中心に、原子核研究（南部先生ノーベル賞受賞記念特集号）53, Suppl. 3 (2009)。

学術発表国際会議

招待講演(会議録掲載以外）

34

Hideo Aoki: Materials design for correlated electron systems, Int. Symposium on anomalous quantum materials, Tokyo, 8 Nov 2008.

35

Hideo Aoki: Mechanism of unconventional pairing in the iron-based superconductor, Int. Workshop on inelastic neutron and x-ray scattering in strongly correlated electron systems, Sendai, Oct 2008.

36

Hideo Aoki: The iron-based superconductors -- an introduction and outlook, Int. Workshop on iron related high-Tc superconductors, Ueno, Jan 2009.

37

Hideo Aoki: Quantum Hall effect and real-space wavefunctions -- multifractality in 2DEG and lattice systems, Newton Institute Workshop on delocalization transitions and multifractality, Wales, Nov 2008.

38

Hideo Aoki: Novel optical properties predicted for graphene: Landau-level laser and photovoltaic Hall effect, Okazaki Conf. ``From aromatic molecules to graphene", Feb 2009.

39

Hideo Aoki: Photo-induced Hall effects in graphene: optical Hall effect and photovoltaic Hall effect, Int. Conf. ``Graphene Week", Obergurgl, Mar 2009.

40

Hideo Aoki: Non-equilibrium dynamics of Mott-to-superfluid transition in BEC in optical lattices, Int. Workshop on dynamics and manipulation of quantum systems, Tokyo, Oct 2008.

一般発表（会議録掲載以外）

41

Hirokazu Takashima, Ryotaro Arita, Kazuhiko Kuroki, Hideo Aoki: An efficient algorithm for functional renormalization group and its application to 2D Hubbard model, Int. Symposium on Anomalous Quantum Materials, Tokyo, Nov 2008.

42

Hirokazu Takashima, Ryotaro Arita, Kazuhiko Kuroki, Hideo Aoki, Functional renormalization group beyond the static approximation and its application to two-dimensional Hubbard model, APS March Meeting, Pittsburg, March 2009.

43

Takahiro Morimoto, Yasuhiro Hatsugai, Hideo Aoki: Optical Hall conductivity in the THz region in the quantum Hall regime Int. Symposium on Anomalous Quantum Materials, Tokyo, Nov 2008.

44

Takashi Oka and Hideo Aoki: Photo-induced Tomonaga-Luttinger-like liquid in a one-dimensional Mott insulator, Workshop on Topological Aspects of Solid State Physics, Kyoto, June 2008.

45

Takashi Oka and Hideo Aoki: Photovoltaic Hall effect in Dirac systems -- application to graphene, APS March Meeting, Pittsburgh, March 2009.

46

Takashi Oka and Hideo Aoki: Anomalous quantum materials in strong electric fields -- Mott insulator and graphene, Int. Symposium on Anomalous Quantum Materials, Tokyo, Nov 2008.

47

Naoto Tsuji, Oka Takashi and Hideo Aoki: Dynamical mean-field analysis of the photo-induced insulator-metal transition in correlated electron systems -- pump-probe spectroscopy, APS March Meeting, Pittsburgh, March 2009.

48

Naoto Tsuji, Oka Takashi and Hideo Aoki: Floquet analysis for photoinduced phanomena in a correlated electron system, Int. Symposium on Anomalous Quantum Materials, Tokyo, Nov 2008.

49

Naoto Tsuji, Oka Takashi and Hideo Aoki: Photoinduced insulator-to-metal transition in correlated electron systems -- a Floquet + DMFT study, Workshop ``Novel aspects of phase transitions with long-range interactions", Tokyo, Oct 2008.

Colloquia

50

Hideo Aoki: Unconventional pairing originating from disconnected Fermi surfaces in the iron-based pnictides, Technical Univ. Vienna seminar, Aug 2008.

51

Hideo Aoki: Unconventional superconductivity originating from disconnected Fermi surfaces in the iron-based compounds, Quantum Matter group seminar, Univ. Cambridge, Oct 2008.

国内会議招待講演

52